Question

【題目】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，線段的中點為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）經過坐標原點的直線與軌跡交于兩點，與拋物線交于點（），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）（方法一）依題意，設直線的方程為，聯立拋物線，然后再根據韋達定理，中點坐標公式求出點坐標，消去參數得，即可求出動點的軌跡方程.

（方法二）利用點差法即可求出動點的軌跡方程.

（2）直線的方程為，方程聯立后化為關于的一元二次方程，寫出根與系數關系，由弦長公式以及列出關系式，即可求出結果．

（1）依題意，，設直線的方程為

由得，即

設，，則，，

設，則，

消去參數得，動點的軌跡方程為.

（方法二）設，，，則

，，

當時，，即

依題意，，，

所以，，

當時，的中點為也滿足上式，

所以，動點的軌跡的方程為.

（2）設直線的方程為

由，得，或，即

由，得，

設，則，，

由，得，

解得，，直線的方程為.