Question

（2013•黃浦區二模）設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的動直線l交拋物線C于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若

OE

=2(

OA

+

OB

)（O為坐標原點），且點E在拋物線C上，求直線l傾斜角；
（3）若點M是拋物線C的準線上的一點，直線MF，MA，MB的斜率分別為k₀，k₁，k₂．求證：當k₀為定值時，k₁+k₂也為定值．

Answer 1

分析：（1）設出直線的方程與拋物線的方程聯立，消去x得到關于y的一元二次方程，利用根據根與系數的關系即可得出；
（2）根據向量和（1）的結論可用k表示E點的坐標代入拋物線的方程即可得出直線l的斜率和傾斜角；
（3）利用向量計算公式和（1）中的根與系數的關系即可得出．

解答：解：（1）根據題意可知：F(

p

2

，0)，設直線l的方程為：x=ky+

p

2

，則：
聯立方程：

x=ky+ p 2 y2=2px

，消去x可得：y²-2pky-p²=0（*），
根據韋達定理可得：y1y2=-p2=-4，∴p=2，
∴拋物線C的方程：y²=4x．
（2）設E（x₀，y₀），則：

x0=2(x1+x2) y0=2(y1+y2)

，由（*）式可得：y₁+y₂=2pk=4k
∴y₀=8k，
又

x1=ky1+ p 2 x2=ky2+ p 2

，∴x1+x2=k(y1+y2)+p=2pk2+p=4k2+2
∴x0=8k2+4
∵

y

2 0

=4x0，∴64k²=4（8k²+4），∴2k²=1，∴k=±

2

2

∴直線l的斜率kl=

1

k

=tanα=±

2

，
∴傾斜角為arctan

2

或π-arctan

2

（3）可以驗證該定值為2k₀，證明如下：
設M（-1，y_M），則：k0=

-yM

2

，k1=

y1-yM

x1+1

，k2=

y2-yM

x2+1

∵

x1=ky1+1 x2=ky2+1

，∴

x1+1=ky1+2 x2+1=ky2+2

∴k1+k2=

y1-yM

x1+1

+

y2-yM

x2+1

=

y1-yM

ky1+2

+

y2-yM

ky2+2

=

(y1-yM)(ky2+2)+(y2-yM)(ky1+2)

(ky1+2)(ky2+2)

=

2ky1y2+2(y1+y2)-yM(k(y1+y2)+4)

k2y1y2+2k(y1+y2)+4

=

-8k+8k-yM(4k2+4)

-4k2+8k2+4

=-yM
∴k₁+k₂=2k₀為定值．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉化為直線方程與拋物線的方程聯立得到一元二次方程、根據根與系數的關系、斜率的計算公式是解題的關鍵．