Question

【題目】已知函數 ．

（Ⅰ）當a＞0時，求函數f（x）的單調遞減區間；

（Ⅱ）當a=0時，設函數g（x）=xf（x）﹣k（x+2）+2．若函數g（x）在區間 上有兩個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，根據導函數零點討論導函數符號，進而確定單調減區間（2）先利用分參法將方程零點轉化為研究函數 值域，利用導數研究函數單調性，最后根據單調性確定函數值域

試題解析：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），

f（x）的導數為f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣（a＞0），

①當a∈（0，1）時，．

由f'（x）＜0，得或x＜1．

當x∈（0，1），時，f（x）單調遞減．

∴f（x）的單調遞減區間為（0，1），；

②當a=1時，恒有f'（x）≤0，∴f（x）單調遞減．

∴f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；

③當a∈（1，+∞）時，．

由f'（x）＜0，得x＞1或．

∴當，x∈（1，+∞）時，f（x）單調遞減．

∴f（x）的單調遞減區間為，（1，+∞）．

綜上，當a∈（0，1）時，f（x）的單調遞減區間為（0，1），；

當a=1時，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；

當a∈（1，+∞）時，f（x）的單調遞減區間為，（1，+∞）．

（Ⅱ）g（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在上有零點，

即關于x的方程在上有兩個不相等的實數根．

令函數．

則．

令函數．

則在上有p'（x）≥0．

故p（x）在上單調遞增．

∵p（1）=0，∴當時，有p（x）＜0即h'（x）＜0．∴h（x）單調遞減；

當x∈（1，+∞）時，有p（x）＞0即h'（x）＞0，∴h（x）單調遞增．

∵，h（1）=1，，

∴k的取值范圍為．