Question

已知橢圓上的點到其兩焦點距離之和為，且過點．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）為坐標原點，斜率為的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點，，若，求△的面積.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）1

解析試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義及橢圓的幾何性質易得， ，即可得其橢圓方程。（Ⅱ）設出直線方程，然后聯立，消掉y（或x）得到關于x的一元二次方程，再根據韋達定理得出根與系數的關系式。先求出再將、代入求得的值，由弦長公式求出，再用點到線的距離公式其點到直線的距離，此距離即為△底邊上的高。用三角形面積公式可求得△的面積。
試題解析：解（Ⅰ）依題意有，．
故橢圓方程為．                   ５分
（Ⅱ）因為直線過右焦點，設直線的方程為 .
聯立方程組
消去并整理得． （*）
故，．
．
又，即．
所以，可得，即．
方程（*）可化為，由，可得．
原點到直線的距離.
所以．                     13分
考點：1橢圓的基礎知識；2直線與橢圓的位置關系；3弦長公式；4點到直線的距離。