Question

已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線AC與邊AB和AD所成角分別為α﹑β，則cos²α+cos²β=1．若把它推廣到空間長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對(duì)角線A₁C與平面A₁B、A₁C₁、A₁D所成的角分別為α、β、γ，則

sin²α+sin²β+sin²γ=1

．

Answer 1

分析：由在長(zhǎng)方形中，設(shè)一條對(duì)角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos²α+cos²β=1，我們根據(jù)平面性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì)，我們易得答案．

解答：解：有如下命題：長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對(duì)角線A₁C與平面A₁B、A₁C₁、A₁D所成的角分別為α、β、γ，則 sin²α+sin²β+sin²γ=1…（4分）
證明：如圖，對(duì)角線A₁C與平面A₁B所成的角為∠CA₁B=α，
在直角三角形CA₁B中，
∵sinα=

BC

A 1C

，
同理：sinβ=

CC 1

A 1C

，sinγ=

CD

A 1C

…（10分）
∴sin2α+sin2β+sin2γ=

BC2+CC 12+CD′2

A 1C2

=

A 1C2

A 1C2

=1…（13分）．
故答案為：sin²α+sin²β+sin²γ=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)，或是將平面中的兩維性質(zhì)，類比推斷到空間中的三維性質(zhì)．