Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a、b、c∈R）的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數圖象所圍成的區域（圖中陰影部分）的面積為

1

12

，則a的值為

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的概念及應用

分析：根據圖象所過點（0，0），及y=0與在原點處與函數圖象相切可求b，c，由題目中給出了區域的面積，我們可以從定積分著手，求出函數以及函數與x軸的交點，建立方程可求解參數．

解答： 解：由圖象知，f（0）=0，得c=0，
f′（x）=3x²+2ax+b，由f′（0）=0，得b=0，
∴f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a，
可以得到圖象與x軸交點為（0，0），（-a，0），
故對-f（x）從0到-a求定積分即為所求面積，即∫₀^-a[-f（x）]dx=

1

12

，
∫₀^-a（-x³-ax²）dx=

1

12

，解得a=-1．
故答案為：-1．

點評：考查學生利用定積分的方法求平面圖形面積的能力．