Question

若偶函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，則滿足f（2x-3）＜f（3）的取值范圍是

（0，3）

．

Answer 1

分析：當2x-3≥0時，直接根據函數的單調性，得不等式2x-3＜3；當2x-3＜0時，根據函數為偶函數的性質，將原不等式化為f（3-2x）＜f（3），再由函數單調性得不等式3-2x＜3．最后將兩種情況的解集取并集，可得原不等式的解集．

解答：解：根據函數在區間[0，+∞）單調遞增，得
當2x-3≥0，即x≥

3

2

時，不等式f（2x-3）＜f（3）等價于2x-3＜3，解之得x＜3
而當2x-3＜0，即x＜

3

2

時，由于函數是偶函數，
所以f（2x-3）＜f（3）等價于f（3-2x）＜f（3）
再根據單調性，得3-2x＜3，解之得x＞0
綜上所述，不等式f（2x-3）＜f（3）的解集為{x|0＜x＜3}
故f（2x-3）＜f（3）的取值范圍是（0，3）
故答案為：（0，3）

點評：本題給出抽象函數為偶函數且在[0，+∞）上為增函數，求關于x的不等式的解集，著重考查了函數單調性的奇偶性等知識，屬于基礎題．