【題目】已知函數(shù)
，若在定義域內存在
，使得
成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.
（1）若
且
，證明：函數(shù)
必有局部對稱點；
（2）若函數(shù)
在定義域
內有局部對稱點，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若函數(shù)
在
上有局部對稱點，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）根據(jù)新定義的“局部對稱點”的概念，計算
，可得結果.
（2）根據(jù)“局部對稱點”的概念，利用分離參數(shù)的方法，可得
，然后構造新函數(shù)，研究新函數(shù)的值域與
的關系，可得結果.
（3）根據(jù)“局部對稱點”的概念，以及換元法，可得
在
有解然后構造函數(shù)
，利用函數(shù)性質，可得結果.
（1）由
得
，
代入得，
，
得到關于
的方程
，
，
則函數(shù)
必有局部對稱點.
（2）方程
在區(qū)間
上有解
則，設
，
，
，其中
，
所以.
（3）
，
由于，所以
，
則
所以可知方程
在
上有解，
令
，則
，
解法1：當
時，
由
，可得
.
，則，
從而在有解
即可保證為“局部奇函數(shù)”.
令
，
當
，
在有解，
由，即
，
解得
；
當
時，
在有解
等價于
，
解得
.
綜上，所求實數(shù)
的取值范圍為.
解法2：方程變?yōu)?/span>
在區(qū)間內有解，其中一個根為
需滿足條件：
，
即
，
化簡得.
輕松暑假總復習系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線的兩個焦點坐標分別為
和
，雙曲線的一條切線與
軸交于
，且斜率為2.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若切線與雙曲線的切點為
，證明：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時10千米時,燃料費是每小時6元,而其他與速度無關的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1千米所需的費用總和最少?
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：
(α為參數(shù))，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρcos 
＝－
，曲線C3：ρ＝2sin θ.
(1)求曲線C1與C2的交點M的直角坐標；
(2)設點A，B分別為曲線C2，C3上的動點，求|AB|的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某公司有男性職工64名，一次體檢后，將他們的體重（單位：kg）分組為：
，
，
，
，
，繪制出頻率分布直方圖如圖，圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為
.
（1）求這64名男職工中，體重小于60kg的人數(shù)；
（2）從體重在
kg范圍的男職工中用分層抽樣的方法選取6名，再從這6名男職工中隨機選取2名，記“至少有一名男職工體重大于65kg”為事件
，求事件發(fā)生的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了了解居民的用電情況,某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量(單位:
),并將樣本數(shù)據(jù)分組為
,
,
,
,
,
,
,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若樣本中月均用電量在的居民有
戶,求樣本容量;
(2)求月均用電量的中位數(shù);
(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機抽樣法抽取
戶居民,則月均用電量在的居民應抽取多少戶?
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，
，
，
，E為AD中點，點O，F分別為BE，DE的中點，將
沿BE折起到
的位置，使得平面
平面BCDE（如圖）.
（1）求證：
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（3）側棱
上是否存在點P，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學校放寒假，寒假結束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉播的時間作了一次調查，得到如下頻數(shù)分布表：
收看時間（單位：小時） | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5) | [5,6) |
收看人數(shù) | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
（1）若將每天收看比賽轉播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全
列聯(lián)表：
男 | 女 | 合計 | |
體育達人 | 40 | ||
非體育達人 | 30 | ||
合計 |
并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關；
（2）在全�！绑w育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座．求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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