Question

設函數
（1）若x=1是的極大值點，求a的取值范圍。
（2）當a=0，b=-1時，函數有唯一零點，求正數的值。

Answer 1

（Ⅰ）的定義域為，
，由=0，得.
∴.
①若a≥0，由=0，得x=1.
當時，，此時單調遞增；
當時，，此時單調遞減.所以x=1是的極大值點.
②若a＜0，由=0，得x=1，或x=.
因為x=1是的極大值點，所以＞1，解得－1＜a＜0.
綜合①②：a的取值范圍是a＞－1.
（Ⅱ）因為函數有唯一零點，即有唯一實數解，
設，則．令，．
因為，所以△=>0，方程有兩異號根設為x₁<0，x₂>0.因為x>0，所以x₁應舍去.
當時，，在（0，）上單調遞減;
當時，，在（，+∞）單調遞增.
當時，=0，取最小值．
因為有唯一解，所以，
則  即
因為，所以（*）
設函數，因為當時，
是增函數，所以至多有一解．
因為，所以方程（*）的解為，
代入方程組解得

略