Question

（本小題滿分14分）
已知函數滿足,對于任意R都有,且
,令.
(1)求函數的表達式；
(2)求函數的單調區間；
研究函數在區間上的零點個數.

Answer 1

(本小題主要考查二次函數、函數的性質、函數的零點、分段函數等知識, 考查函數與方程、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應用意識)
(1) 解：∵，∴.                                         …… 1分               
∵對于任意R都有,
∴函數的對稱軸為，即，得.       …… 2分
又，即對于任意R都成立，
∴,且．
　　　　∵，     ∴．
　　　　∴．                                             …… 4分
(2) 解：            …… 5分
① 當時，函數的對稱軸為，
若，即，函數在上單調遞增；        …… 6分
若，即，函數在上單調遞增，在上單調遞減．
…… 7分
② 當時，函數的對稱軸為，
　則函數在上單調遞增，在上單調遞減．  …… 8分
綜上所述，當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為
；                                                     …… 9分
當時，函數單調遞增區間為和，單調遞減區間為
和．                                        …… 10分
(3)解：① 當時，由(2)知函數在區間上單調遞增，
　　　　　又，
　　　　　故函數在區間上只有一個零點．                      …… 11分
　　　　② 當時，則，而，
　　　　，
（ⅰ）若，由于，
且，
此時，函數在區間上只有一個零點；                    …… 12分
　　　　（ⅱ）若，由于且，此時，函數在區間  
上有兩個不同的零點．                                         …… 13分
　　 　綜上所述，當時，函數在區間上只有一個零點；
　　　　　　　 　當時，函數在區間上有兩個不同的零點．   …… 14分

略