Question

（2012•香洲區(qū)模擬）已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)M是橢圓上異于A_l，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA₁，MA₂的斜率分別為kMA1，kMA2，證明kMA1，kMA2為定值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓的方程，利用離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）利用M點(diǎn)在橢圓上，計(jì)算斜率，化簡即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵離心率e=

3

3

，∴a²=3c²，∴b²=2c²
∵直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切
∴b=

2

2

=

2

∴c²=1
∴a²=3
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）證明：由橢圓方程得A₁（-

3

，0），A₂（

3

，0），
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），則

x02

3

+

y02

2

=1
∴y02=

2

3

(3-x02)
∴kMA1•kMA2=

y0

x0+ 3

×

y0

x0- 3

=

y02

x02-3

=

2 3 (3-x02)

x02-3

=-

2

3

∴kMA1•kMA2是定值-

2

3

是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相切，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．