Question

設等比數列{a_n}滿足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意兩項之積也是該數列中的一項，若a₁=2⁸¹，則q的所有可能取值的集合為______．

Answer 1

由題意，a_n=2⁸¹q^n-1，設該數列中的任意兩項為a_m，a_t，它們的積為a_p，
則為a_m•a_t=a_p，即2⁸¹q^m-1•2⁸¹q^t-1=2⁸¹•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），
∴q=2

81

p-m-t+1

，
故p-m-t+1必是81的正約數，
即p-m-t+1的可能取值為1，3，9，27，81，
即

81

p-m-t+1

的可能取值為1，3，9，27，81，
所以q的所有可能取值的集合為{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}