Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為： ，直線的方程為．

（）當時，求直線被圓截得的弦長；

（）當直線被圓截得的弦長最短時，求直線的方程；

（）在（）的前提下，若為直線上的動點，且圓上存在兩個不同的點到點的距離為，求點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（）；（）；（）．

【解析】試題分析：（1）圓的方程化為標準式，可得圓心，半徑，根據點到直線距離公式以及勾股定理可得直線被圓截得的弦長；（2）當所截弦長最短時， 取最大值，

圓心到直線的距離，令， ，利用配方法可得時取最大值，弦長取最小值，直線上方程為，（ ）設，當以為圓心， 為半徑畫圓，當圓與圓剛好相切時， ，解得或，可得點橫坐標的取值范圍為．

試題解析：（ ）圓的方程為，圓心，半徑．

當時，直線的方程為，

圓心到直線的距離，

弦長．

（）∵圓心到直線的距離

，

設弦長為，則，

當所截弦長最短時， 取最大值，

∴，令，

．

令

，

當時， 取到最小值．

此時， 取最大值，弦長取最小值，

直線上方程為．

（）設，

當以為圓心， 為半徑畫圓，當圓與圓剛好相切時，

，

解得或，

由題意，圓與圓心有兩個交點時符合題意，

∴點橫坐標的取值范圍為．