Question

（文科）已知橢圓的方程為3x²+y²=18．
（1）求橢圓的焦點坐標及離心率；
（2）求以橢圓的焦點為頂點、頂點為焦點的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）首先將橢圓方程化成標準方程，能夠得出ab，c．然后根據橢圓的焦點坐標及離心率公式求出結果即可．
（2）先求出橢圓的頂點和焦點坐標，從而得到雙曲線的焦點和頂點，進而得到雙曲線方程．

解答：解：（1）∵橢圓3x²+y²=18即

x2

6

+

y2

18

=1，
∴a=3

2

，b=

6

由 c²=a²-b²，得c=2

3

，
∴離心率：e=

c

a

=

2 3

3 2

=

6

3

，
焦點坐標：F₁（0，-2

3

），F₂（0，2

3

）
（2）橢圓在y軸上的頂點坐標：（0，3

2

），（0，-3

2

），
焦點坐標：（0，-2

3

），（0，2

3

）
∴雙曲線的焦點坐標是：（0，3

2

），（0，-3

2

），
頂點為（0，-2

3

），（0，2

3

）
雙曲線的半實軸長為：2

3

，半虛軸長為：

(3 2 )2-(2 3 )2

=

6

．
∴雙曲線方程為

y2

12

-

x2

6

=1．

點評：本題主要考查了利用橢圓與雙曲線的性質求解雙曲線的方程，解題的關鍵是熟練掌握橢圓與雙曲線的性質，正確找出題中的相關量，求出a、b、c是關鍵，同時要牢記橢圓和雙曲線中的有關公式，屬于基礎題．