Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：

Answer 1

【答案】（1）時，在上是增函數(shù)，時，在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)

（2）證明見解析

【解析】

（1）對求導，得到，根據(jù)的，對進行分類，分為，和；（2）令，先說明當時，不符合題意，再研究當時，利用導數(shù)得到最大值，根據(jù)有兩個零點，得到，易得，再利用導數(shù)證明時，，從而確定范圍為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得到在上單調(diào)遞減，從而得以證明.

（1）易知的定義域為，且，

時，在上恒正，所以在上單調(diào)遞增，

時，對于，

①當，即時，，在上是增函數(shù)；

②當，即時，有兩個正根，

所以，，單調(diào)遞增，

，，單調(diào)遞減

綜上，時，在上是增函數(shù)，時，在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)

（2）令，

方程有兩個不相等的實根函數(shù)有兩個零點，

由

定義域為且

①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則至多有一個零點，不符合題意；

②當時，得，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

要使有兩個零點，則，由解得

此時

易知當時，

，

令，所以，

時，在為增函數(shù)，

在為增函數(shù)，，

所以，即

所以

函數(shù)在與各存在一個零點

綜上所述，.

∴證明證明時，成立

設(shè)，則

易知在上遞減，，在上單調(diào)遞減

，

所以.