Question

如圖所示，現有一邊長為6的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各截出去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器為使其容積最大，截下的小正方形邊長應為多少？

Answer 1

當截下的正方形邊長為1時，容積最大.

本題是考察導數應用的題目先設截下的小正方形邊長x,然后建立容積V(x)的關系式，再求導，根據導數等于零，確定最值一般地在應用題中，一般考察的都是單峰函數，導數等于零的位置只有一個，它就是要求的最值位置
解：設截下的小正方形邊長x，容器容積為
V（x），則做成長方體形無蓋容器底面邊長
為8-2x，高為X，于是
V（x）=（6-2x）² x，0<x<3
即      V（x）=4x³ -24x²+36x，0<x<3
有  V'（x）=12x²-48x+36
令V'（x）=0,即令12x²-48x+36=0
解得x₁=1，x₂=3（舍去）
當0<x<1時，V'（x）>0;當1<x<3時，V'（x）<0
因此x=1是極大值點，且在區間（1,3）內，是唯一的極值點，所以x=1是V（x）的最大值點
即當截下的正方形邊長為1時，容積最大