Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上移動(dòng).

（Ⅰ）若F為中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）若二面角的余弦值等于，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）證明得到答案.

（Ⅱ）證明，，得到平面，得到答案.

（Ⅲ）如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.

（Ⅰ）在中，因?yàn)辄c(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）證因?yàn)榈酌?/span>是正方形，所以.

因?yàn)?/span>底面，所以，，所以平面.

由于平面，所以.

由已知，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.

（Ⅲ）如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，.

于是，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由得，取，則，，得

由于，，，所以平面.

即平面的一個(gè)法向量為.

根據(jù)題意，，解得.

由于，所以.