Question

（Ⅰ）已知k∈N，n∈N^*，且 k≤n，求證：=；
（Ⅱ） 若（n+1）=31，試求n的值，并求（1+x）²ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）=，由此能夠證明=．
（Ⅱ）由（n+1）=31，能夠推導(dǎo)出2ⁿ⁺¹-1=31，解得n=4．故（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸展開式中系數(shù)最大的項是第5項，由此能求出（1+x）²ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項．
解答：（Ⅰ）證明：=
==，
∴=．
（Ⅱ）解：∵（n+1）=31，
∴+++…+
=+…+
=2ⁿ⁺¹-1，
∴2ⁿ⁺¹-1=31，
∴2ⁿ⁺¹=32，解得n=4．
∴（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸展開式中系數(shù)最大的項是第5項，
則=70x⁴，
∴（1+x）²ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項為70x⁴．
點評：本題考查組合數(shù)的證明，考查展開式中系數(shù)最大的項的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意組合數(shù)公式的靈活運用．