Question

選做題（請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分）
（1）已知圓的極坐標方程為ρ=2cosθ，則該圓的圓心到直線ρsinθ+2ρcosθ=1的距離是

5

5

．
（2）若關于x的不等式|a-1|+2≥|x+1|+|x-3|存在實數解，則實數a的取值范圍是

（-∞，-1]∪[3，+∞）

．

Answer 1

分析：（1）先將極坐標方程轉化為直角坐標系的方程，再利用點到直線的距離公式即可．
（2）利用絕對值不等式的性質求出|x+1|+|x-3|的最小值，進而求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x．即（x-1）²+y²=1，∴圓心為（1，0）．
∵ρsinθ+2ρcosθ=1，∴2x+y-1=0．
由點到直線的距離公式得：

|2×1+0-1|

22+12

=

5

5

．即為所求的圓的圓心到直線的距離．
故答案為

5

5

．
（2）∵|x+1|+|x-3|≥|x+1-（x-3）|=4，∴|x+1|+|x-3|的最小值為4．
由已知關于x的不等式|a-1|+2≥|x+1|+|x-3|存在實數解，∴a滿足|a-1|+2≥4，解得a≤-1，或a≥3．
∴實數a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評：本題考查了極坐標下點到直線的距離和含絕對值不等式，充分利用轉化思想是解決問題的關鍵．