Question

【題目】已知位數滿足下列條件：①各個數字只能從集合中選取；②若其中有數字，則在的前面不含，將這樣的位數的個數記為；

（1）求、；

（2）探究與之間的關系，求出數列的通項公式；

（3）對于每個正整數，在與之間插入個得到一個新數列，設是數列的前項和，試探究能否成立，寫出你探究得到的結論并給出證明；

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）不能成立，證明見解析

【解析】

（1）根據已知條件，進行分類討論，由此計算出的值.

（2）根據已知條件，分類討論求得和之間的遞推關系式，由此求得數列的通項公式.

（3）根據（2）中求得的數列的通項公式，計算出，由此證得不成立.

（1）當時，這樣的位數有個，所以.

當時，若個位數字為，則十位數字可以為，共有種；若個位數字為，則十位數字可以為，共有種.所以當時，共有種，即.

當時，若個位數字是，則十位和百位的可能情況有種；若個位數字為，則十位和百位分別有種，共有種.所以.

（2）結合（1）的分析可知，當位數時，若個位數字是，其余個位置的方法數為；若個位數字為，則其余個位置的方法數為種.所以.整理得，所以是以為首項，公差為的等差數列，則，化簡得.所以數列的通項公式為.

（3）由（2）得.則

，

，

由于，所以單調遞增，所以不成立.