Question

（I）已知|

a

|=2，|

b

|=3，

a

與

b

的夾角是

π

3

，求實數k，使得5

a

+3

b

與3

a

+k

b

垂直．
（II）若0＜α＜π，sinα+cosα=

1

5

，求tanα的值．

Answer 1

（I）∵5

a

+3

b

與3

a

+k

b

垂直，

a

與

b

的夾角是

π

3

，
∴（5

a

+3

b

）•（3

a

+k

b

）=0，
即15|

a

|²+（5k+9）|

a

|•|

b

|cos

π

3

+3k|

b

|²=0，
又|

a

|=2，|

b

|=3，
∴60+3（5k+9）+27k=0，即42k=-87，解得：k=-

87

42

；
（II）把sinα+cosα=

1

5

①兩邊平方得：
sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=-

24

25

＜0，又0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，
則（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，
∴sinα-cosα=

7

5

②，
聯立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
則tanα=-

4

3

．