Question

【題目】已知中心在坐標原點，一個焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為.

（1）求此橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于兩點，且以為對角線的菱形的一個頂點為，求面積的最大值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值1，

【解析】【試題分析】（1）依題意可知，得到，設出兩點的坐標，利用點差法可得到的另一個關系式，由此求得的值.（2）聯立直線的方程和橢圓的方程，消去寫出韋達定理，利用菱形和橢圓的弦長公式，求得面積的表達式，在利用二次函數最值來求得面積的最大值.

【試題解析】

（1）設所求橢圓方程為，由題意知，①

設直線與橢圓的兩個交點為，弦的中點為，

由，兩式相減得：，

兩邊同除以，得，即.

因為橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，所以，

所以， ，所以，即，②

由①②可得，

所以所求橢圓的方程為.

（2）設, 的中點為，

聯立，消可得： ，

此時，即①

又，，

為對角線的菱形的一頂點為，由題意可知,即

整理可得： ②

由①②可得，，

設到直線的距離為，則

，

當的面積取最大值1，此時

∴直線方程為.