Question

(07年全國(guó)卷Ⅱ理)（12分）已知函數(shù)f(x)=x³－x

（1）求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t, f(t))處的切線方程

（2）設(shè)a>0,如果過(guò)點(diǎn)（a, b）可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：－a<b<f(a)

Answer 1

解析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．

       曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

              ，

       即    ．

（2）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)，則存在，使

       ．

于是，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程

      

有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．

記    ，

則   

               ．

當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：

		0
		0		0
	極大值		極小值

由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．

綜上，如果過(guò)可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則

即    ．