Question

如圖，拋物線y=-x²+1與x軸的正半軸交于點A，將線段OA的n等分點從左至右依次記為P₁，P₂，…，P_n-1，過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為Q₁，Q₂，…，Q_n-1，從而得到n-1個直角三角形△Q₁OP₁，△Q₂P₁P₂，…，△Q_n-1P_n-2P_n-1．當n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為

 

．

Answer 1

分析：由題意知

lim

n→∞

(S1+S2+…+Sn-1)=

lim

n→∞

1

2n

[(n-1)-

12+ 22+…+(n-1)2

n2

]，由此能夠推導出這些三角形的面積之和的極限．

解答：解：p1(

1

n

，0)，p2(

2

n

，0)，…，pn-1(

n-1

n

，0)；Q1(

1

n

，1-(

1

n

)2)，Q2(

2

n

，1-(

2

n

)2)，…，Qn-1(

n-1

n

，1-(

n-1

n

)2)，記△Q_nP_n-1P_n的面積為S_n，則S₁=

1

2

-

1

n

-[1-(

1

n

)2]，S₂=

1

2

-

1

n

-[1-(

1

n

)2]，…，S_n-1=

1

2

-

1

n

-[1-(

n-1

n

)2]；

lim

n→∞

(S1+S2+…+Sn-1)=

lim

n→∞

1

2n

[(n-1)-

12+ 22+…+(n-1)2

n2

]=

1

2

-

lim

n→∞

(n-1)(n-2)(2n-3)

12n3

=

1

2

-

1

6

=

1

3

．
答案：

1

3

．

點評：本題考查極限的求法，解題時要注意觀察分析能力和歸納總結能力的培養．