Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點P到左右兩焦點F₁，F₂的距離之和為2

2

，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點F₂的直線l交橢圓于A、B兩點，若y軸上一點M(0，

3

7

)滿足|MA|=|MB|，求直線l的斜率k的值．

Answer 1

（Ⅰ）|PF1|+|PF2|=2a=2

2

，∴a=

2

-----------------------（1分）
∵e=

c

a

=

2

2

，∴c=

2

2

×

2

=1，-----------------------（2分）
∴b²=a²-c²=2-1=1-----------------------（3分）
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1-----------------------（4分）
（Ⅱ）已知F₂（1，0），設直線的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）----------（5分）
聯立直線與橢圓的方程

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，化簡得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0------------（6分）
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)-2k=

-2k

1+2k2

∴AB的中點坐標為(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)-----------------------（8分）
①當k≠0時，AB的中垂線方程為y-

-k

1+2k2

=-

1

k

(x-

2k2

1+2k2

)--------------（9分）
∵|MA|=|MB|，∴點M在AB的中垂線上，將點M的坐標代入直線方程得：

3

7

+

k

1+2k2

=

2k

1+2k2

，
即2

3

k2-7k+

3

=0，解得k=

3

或k=

3

6

-----------------------（11分）
②當k=0時，AB的中垂線方程為x=0，滿足題意．-----------------------（12分）
∴斜率k的取值為0，

3

，

3

6

．-----------------------（13分）