Question

已知函數f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(a∈R)．
（Ⅰ）當a=-1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≤

1

2

時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=lnx+x+

2

x

-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=

1

x

+1-

2

x2

，因此，f′（2）=1，
即曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，
又f（2）=ln2+2，y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-（ln2+2）=x-2，
所以曲線，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因為f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1，
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）當a=0時，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，當x∈（0，1）時，g（x）＞0，
此時f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
（2）當a≠0時，由g（x）=0，
即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=

1

a

-1．
①當a=

1

2

時，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此時f′（x）≤0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
②當0＜a＜

1

2

時，
x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
x∈（1，

1

a

-1）時，g（x）＜0，此時f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
x∈（

1

a

-1，+∞）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
③當a＜0時，由于

1

a

-1＜0，
x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0函數f（x）單調遞減；
x∈（1，+∞）時，g（x）＜0此時函數f′（x）＞0函數f（x）單調遞增．
綜上所述：
當a≤0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減；
函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增
當a=

1

2

時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減
當0＜a＜

1

2

時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減；
函數f（x）在（1，

1

a

-1）上單調遞增；
函數f（x）在（

1

a

-1，+∞）上單調遞減．