Question

如圖,函數f(x)=x+的定義域為(0,+∞).設點P是函數圖象上任一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M,N.

(1)證明:|PM|·|PN|為定值.
(2)O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

Answer 1

(1)見解析   (2) +1

(1)設P(x₀,x₀+)(x₀>0).
則|PN|=x₀,|PM|==,
因此|PM|·|PN|=1.
(2)連接OP,直線PM的方程為
y-x₀-=-(x-x₀),即y=-x+2x₀+.
解方程組
得x=y=x₀+,所以|OM|=x₀+.
S_{四邊形OMPN}=S_△NPO+S_△OPM
=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|
=x₀(x₀+)+(x₀+)
=+(+)
≥+1,
當且僅當x₀=,即x₀=1時等號成立,因此四邊形OMPN面積的最小值為+1.