Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若方程只有一解，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）設函數，若對任意正實數， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導數研究函數的單調性，可得函數在上單調遞減，函數在區間上單調遞增，根據單調性可得時， ， 時， ,且，結合函數圖象可得結果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意正實數， 恒成立，等價于，先排除，當時，利用導數可得，所以.

試題解析：（Ⅰ）由已知.

當時， ，函數在上單調遞減；

當時， ，函數在區間上單調遞增.

故.

又當時， .

且 （對足夠小的）.

又當時， .

即所求的取值范圍是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

所以對任意正實數， 恒成立，

等價于.

∵.

（1）當時， ，與式矛盾，故不合題意.

（2）當時，

當時， ，當時， ，

所以在上單調遞增，在區間上單調遞減.

，所以.

綜合（1）（2）知實數的取值范圍為.