Question

某跨國飲料公司對全世界所有人均GDP（即人均純收入）在0.5-8千美元的地區銷售該公司A飲料的情況的調查中發現：人均GDP處在中等的地區對該飲料的銷售量最多，然后向兩邊遞減．
（1）下列幾個模擬函數中（x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷量，單位；升），用哪個來描述人均A飲料銷量與地區的人均GDP的關系更合適？說明理由．
（A）y=ax²+bx（B）y=log_ax+b（C）y=a^x+b（D）y=x^a+b
（2）若人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷量為2升；若人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷量為5升，把你所選的模擬函數求出來．
（3）因為A飲料在B國被檢測出殺蟲劑的含量超標，受此事件的影響，A飲料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地區銷量下降5%，其它地區的銷量下降10%，根據（2）所求出的模擬函數，求在各個地區中，年人均A飲料的銷量最多為多少？

Answer 1

分析：（1）考慮到A，B，C，D四個函數中只有A符合題意，因為B，C，D三個函數是單調函數．然后用待定系數法求出A的解析式可得．
（2）根據題中人均GDP的要求范圍把x的取值分成三段，分別求出每一段的最大值，并比較去最大即可．

解答：解：（1）用A來模擬比較合適因為B，C，D表示的函數在區間[0.5，8]上是單調的
因為人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷量為2升；若人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷量為5升，把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax²+bx得

2=a+b 5=16a+4b

?

a=- 1 4 b= 9 4

所以函數解析式為y=-

1

4

x2+

9

4

x(x∈[0.5，8])
（2）當x∈[0.5，3]時，y=-

19

80

[(x-

9

2

)2-

81

4

]，在x∈[0.5，3]上遞增，所以ymax=

171

40

當x∈[6，8]時，y=-

19

80

[(x-

9

2

)2-

81

4

]，在x∈[6，8]上遞減，所以ymax=

171

40

當x∈（3，6）時，y=-

9

40

[(x-

9

2

)2-

81

4

]，

9

2

∈(3，6)，所以ymax=

729

160

比較大小得：當x=

9

2

時，ymax=

729

160

答：當人均GDP在4.5千美元的地區，人均A飲料的銷量最多為

729

160

點評：考查學生會根據實際問題選擇函數類型，會用不同的自變量取值求二次函數的最值及比較出最值．