Question

x，y是兩個不相等的正數，且滿足x³-y³=x²-y²，則[9xy]的最大值為

3

．（其中[x]表示不超過x的最大整數）．

Answer 1

分析：由x，y是兩個不相等的正數，且滿足x³-y³=x²-y²，知x²+xy+y²=x+y，將其看成y的函數，解出y=

1

2

（1-x±

1+2x-3x2

），由定義域知-

1

3

＜x＜1，由此借助三角函數能求出[9xy]的最大值．

解答：解：∵x，y是兩個不相等的正數，且滿足x³-y³=x²-y²，∴x²+xy+y²=x+y，
將其看成y的函數，解出y=

1

2

（1-x±

1+2x-3x2

），由定義域知-

1

3

＜x＜1，
若y=

1

2

（1-x-

1+2x-3x2

），
解y＞0，1-x-

1+3x

•

1-x

＞0，1-x＞1+3x，x＜0，與x，y同為正數不符，
所以y=

1

2

（1-x+

1+2x-3x2

），且y＞0，x＞0，
（1+2x-3x²）=3[

4

9

-（x-

1

3

）²]，
設x-

1

3

=

2

3

sinα，即x=

1

3

（1+2sinα），其中-

π

2

≤α≤

π

2

，
由x＞0，知-

π

6

＜α≤

π

2

，
y=

1

2

（1-x+

1+2x-3x2

）=

1

3

（1-sinα+

3

cosα），
由x，y不相等，知1+2sinα≠1-sinα+

3

cosα，tanα≠

1

3

，知α≠

π

6

，
9xy=（1+2sinα）（1-sinα+

3

cosα）=1+sinα+

3

cosα-2sin²α+2

3

sinαcosα，
∵（sinα+

3

cosα）²=sin²α+2

3

sinαcosα+3cos²α=3-2sin²α+2

3

sinαcosα，
9xy=-2+sinα+

3

cosα+（sinα+

3

cosα）²=（sinα+

3

cosα+

1

2

）²-

9

4

，
∵sinα+

3

cosα=2sin（α+

π

3

），-

π

6

＜α≤

π

2

，α≠

π

6

，
∴

π

6

＜α+

π

3

≤

5π

6

，但α+

π

3

≠

π

2

，
∴1≤2sin（α+

π

3

）＜2．
所以9xy=（sinα+

3

cosα+

1

2

）²-

9

4

＜（2+

1

2

）²-

9

4

=4．
∴[9xy]的最大值為3．
故答案為：3．

點評：本題考查函數值域的求法，綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．