Question

已知函數f(x)=

x

1-x

(0＜x＜1)的反函數為f^-1（x）．設數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}滿足b1=

1

2

，bn+1=(1+bn)2•f-1(bn)，求證：對一切正整數n≥1都有

1

a1+b1

+

1

2a2+b2

+…+

1

nan+bn

＜2．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

x

1-x

(0＜x＜1)，知f-1(x)=

x

1+x

，所以an+1=f-1(an)⇒an=f(an+1)=-

an+1

an+1-1

⇒

1

an+1

-

1

an

=1．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由bn+1=(1+bn)2•

bn

1+bn

⇒bn+1=bn(bn+1)，知

1

nan+bn

=

1

1+bn

=

bn

bn+1

=

b 2 n

bnbn+1

=

bn+1-bn

bnbn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，由此能夠證明對一切正整數n≥1都有

1

a1+b1

+

1

2a2+b2

+…+

1

nan+bn

＜2．

解答：解：（1）由f(x)=

x

1-x

(0＜x＜1)⇒f-1(x)=

x

1+x

，
∴an+1=f-1(an)⇒an=f(an+1)=-

an+1

an+1-1

⇒

1

an+1

-

1

an

=1．
∴{

1

an

}是以

1

a1

為首項，1為公差的等差數列，
即

1

an

=1+(n-1)×1=n．∴an=

1

n

．
（2）由已知得bn+1=(1+bn)2•

bn

1+bn

⇒bn+1=bn(bn+1)，顯然b_n∈（0，+∞）．
∴

1

nan+bn

=

1

1+bn

=

bn

bn+1

=

b 2 n

bnbn+1

=

bn+1-bn

bnbn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴

1

a1+b1

+

1

2a2+b2

+…+

1

nan+bn

=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)+…+(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b1

-

1

bn+1

=2-

1

bn+1

＜2．

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．