Question

(本小題滿分12分)已知數列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數），記．

(1) 求；

(2) 試比較與的大小（）；

(3) 求證：

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）由(1)可得，結合整體思想來得到比較大小

（3）由(2)知 ，，（）．結合放縮法來得到證明。

【解析】

試題分析：解：(1) ∵，①  ∴．②

②－①，得，即．  （3分）  在①中令，

可得．∴是首項為，公比為的等比數列，． （4分）

(2) 由(1)可得．

．

∴，   （5分）

．而，且，

∴，．∴，（）．（8分）

(3) 由(2)知 ，，（）．

∴當時，．

∴，（10分）（當且僅當時取等號）．

另一方面，當，時，

．

∵，∴．

∴，（當且僅當時取等號）．（13分）

∴．（當且僅當時取等號）．

綜上所述，，（）．（14分）

考點：數列的綜合運用

點評：考查了數列的通項公式與前n項和關系的運用，以及能結合已知給定的不等式來放縮法得到證明。