Question

【題目】已知橢圓的離心率為是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長是6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)圓：，過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上移動且時(shí)，求的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

【解析】

（1）由橢圓離心率得到的關(guān)系，再由的周長是，得的另一關(guān)系，聯(lián)立求得的值，代入求得，則橢圓方程可求；（2）橢圓的上頂點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為，由圓心到切線距離等于半徑得到關(guān)于切線斜率的方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到，，再聯(lián)立切線方程和橢圓方程，求得的坐標(biāo)，同理求得坐標(biāo)，利用斜率公式得到，然后由函數(shù)單調(diào)性求得的斜率的范圍.

（1）由，可知，

因?yàn)?/span>的周長是6，所以，

所以，所求橢圓方程為；

（2）橢圓的上頂點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為，

由直線與相切可知，

∴，

由得，

∴，同理，

，

，

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故的斜率的范圍為.