Question

經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為．點(diǎn)、在軌跡上，且關(guān)于軸對(duì)稱，過線段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、．

（1）求軌跡的方程；

（2）證明：；

（3）若點(diǎn)到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）方法1是利用直接法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題中條件列式并化簡(jiǎn)進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；方法2是將問題轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離，利用拋物線的定義寫出軌跡的方程；（2）由于軸，利用直線與直線的斜率互為相反數(shù)證明；（3）方法1是先將的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)一些幾何性質(zhì)求出、，并將的面積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程；方法2是利用（2）中的條件與結(jié)論，利用直線確定點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，借助弦長(zhǎng)公式求出、，并將的面積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程.

試題解析：（1）方法1：設(shè)動(dòng)圓圓心為，依題意得，．        1分

整理，得．所以軌跡的方程為．                   2分

方法2：設(shè)動(dòng)圓圓心為，依題意得點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到定直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線．                    1分

且其中定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線．

所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．    2分

（2）由（1）得，即，則．

設(shè)點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為

．          3分

由題意知點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，，

則，

即．                  4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020172200142078_DA.files/image032.png">，．           5分

由于，即．         6分

所以．                               7分

（3）方法1：由點(diǎn)到的距離等于，可知．            8分

不妨設(shè)點(diǎn)在上方（如圖），即，直線的方程為：．

由

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．                       10分

所以．

由（2）知，同理可得．            11分

所以△的面積，

解得．                                   12分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

直線的方程為，即．                13分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

直線的方程為，即．               14分

方法2：由點(diǎn)到的距離等于，可知．             8分

由（2）知，所以，即．

由（2）知，．

所以．

即．        ①

由（2）知．           ②

不妨設(shè)點(diǎn)在上方（如圖），即，由①、②解得          10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020172200142078_DA.files/image067.png">，

同理．                               11分

以下同方法1．

考點(diǎn)：直接法求軌跡方程，拋物線的定義，函數(shù)圖象的切線方程的求解，斜率公式、弦長(zhǎng)公式