Question

如果對于函數f（x）的定義域內任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就稱函數f（x）是定義域上的“平緩函數”．
（1）判斷函數f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數”；
（2）若函數f（x）是閉區間[0，1]上的“平緩函數”，且f（0）=f（1）．證明：對于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．
（3）設a、m為實常數，m＞0．若f（x）=alnx是區間[m，+∞）上的“平緩函數”，試估計a的取值范圍（用m表示，不必證明）．

Answer 1

分析：新定義函數類型的題目，解答時要先充分理解定義才能答題，對于（1）只需按照定義作差：|f（x₁）-f（x₂）|，
然后尋求條件：|x₁+x₂-1|≤1．
（2）的解答稍微復雜一些，此處除了用到放縮外，還有添項減項的技巧應用即對已知條件f（0）=f（1）的充分利用．
（3）的解答雖有難度，但是不要求證明，難度大大降低，此處可先取定一個m值利用圖形的直觀性將不難尋求到a的取值范圍．

解答：證明：（1）對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，
      有-1≤x₁+x₂-1≤1，|x₁+x₂-1|≤1．（2分）
      從而|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函數f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平緩函數”．（4分）
（2）當|x₁-x₂|＜

1

2

時，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

1

2

；（6分）
     當|x₁-x₂|≥

1

2

時，因為x₁，x₂∈[0，1]，不妨設0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≤-

1

2

，
     因為f（0）=f（1），所以：
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

1

2

+1=

1

2

．
    故對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．（10分）
（3）結合函數f（x）=alnx的圖象性質及其在點x=m處的切線斜率，估計a的取值范圍是閉區間[-m，m]．（注：只需直
     接給出正確結論）（14分）

點評：本題抽象函數、新定義函數類型的概念，不等式的性質，放縮法的技巧，對于新定義類型問題，在解答時要先充分理解定義才能答題，避免盲目下筆，遇到困難才來重頭讀題，費時費力，另外要在充分抓住定義的基礎上，對式子的處理要靈活，各個式子的內在聯系要充分挖掘出來，可現有結論向上追溯，看看需要哪些條件才能得出結果，再來尋求轉化取得這些條件．