Question

(本小題滿分12分) 已知橢圓E：=1（a＞b＞o）的離心率e=，且經過點（,1），O為坐標原點。

  （Ⅰ）求橢圓E的標準方程；

　（Ⅱ）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=－4在x軸上方的一點，過M作圓O的兩條切線，切點分別為P、Q，當∠PMQ=60°時，求直線PQ的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）x-y+2=0.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據橢圓E：橢圓E：=1（a＞b＞o）的離心率e=，可得a²=2b²，利用橢圓E：=1經過點（,1）我們有 ，從而可求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設M（-4，m），由圓的切線性質及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°，從而可求M（-4，4），進而以OM為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8與圓O：x²+y²=8聯立，兩式相減可得直線PQ的方程．

解：（1）橢圓的標準方程為：    ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分

（2）連接QM，OP，OQ，PQ和MO交于點A，

有題意可得M（-4，m），∵∠PMQ=60⁰

∴∠OMP=30⁰，∵，

∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4)             ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分

∴直線OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,

,設直線PQ的方程為y=x+n      ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分

∵∠OMP=30⁰,∴∠POM=60⁰,∴∠OPA=30⁰,

,即O到直線PQ的距離為,   ﹍﹍﹍﹍10分

(負數舍去),∴PQ的方程為x-y+2=0.  ﹍﹍﹍﹍12分

考點：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合。 是一道綜合試題。

點評：解題的關鍵是確定M的坐標，進而確定以OM為直徑的圓K的方程．