Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點，DE⊥平面BCC₁。

（Ⅰ）證明：AB=AC；

（Ⅱ）設二面角A-BD-C為60°，求B₁C與平面BCD所成的角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）30°

解析:

本題考查線面垂直證明線面夾角的求法，第一問可取BC中點F，通過證明AF⊥平面BCC₁,再證AF為BC的垂直平分線，第二問先作出線面夾角，即證四邊形AFED是正方形可證平面DEF⊥平面BDC，從而找到線面夾角求解。此題兩問也可建立空間直角坐標系利用向量法求解。

解法一：（Ⅰ）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA。

連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設知，∠AGC=60^0..

    設AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。

由得2AD=，解得AD=。

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形。

因為BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

連接AE、DF，設AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

連接CH，則∠ECH為與平面BCD所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=30⁰，即與平面BCD所成的角為30⁰.

解法二：

（Ⅰ）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A—xyz。

設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC。

（Ⅱ）設平面BCD的法向量則

又=（-1，1， 0），

=（-1，0，c）,故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角為60°知，=60°，

故  °，求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

于是   ， 

，

            °

所以與平面所成的角為30°