Question

設a，b是關于x的一元二次方程x²-2mx+m+6=0的兩個實根，則（a-1）²+（b-1）²的最小值是

1. A.
   
2. B.
   18
3. C.
   8
4. D.
   -6

Answer 1

C
分析：根據根與系數的關系利用參數m表示出函數的解析式，根據判別式大于等于0，確定參數m的取值范圍，再結合二次函數的圖象與性質求出最小值即可．
解答：∵方程x²-2mx+m+6=0的兩個根為a，b
∴，且△=4（m²-m-6）≥0，
∴y=（a-1）²+（b-1）²=（a+b）²-2ab-2（a+b）+2=4m²-6m-10=4，
且m≥3或m≤-2．
由二次函數的性質知，當m=3時，函數y=4m²-6m-10的取得最小值，最小值為8．
即函數y=（a-1）²+（b-1）²的最小值是8．
故選C．
點評：本題考查的重點是二次函數的最值，考查二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是根據根與系數的關系利用參數m表示出函數的解析式，易錯點是忽視參數的范圍．