Question

（2013•懷化三模）已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+1² =2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

，數列{c_n}的前n項和為S_n，其中n∈N^*，證明：

5

16

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）由數列{a_n}滿足a_n+1² =2a_n²+a_na_n+1，數列是正項數列，可得2a_n-a_n+1=0，進而得到數列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數列，求出數列的通項公式；
（Ⅱ）由數列c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

為正項數列，故n=1時，S_n取最小值

5

16

，利用放縮法，求出S_n的最大值，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a² _n+1=2a²_n+a_na _n+1，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
∵數列是正項數列，
∴a_n+1+a_n≠0，即2a_n-a_n+1=0
∴

an+1

an

=2
∵a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2
即數列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數列
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
證明：（Ⅱ）c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

＞0
∴當n=1時，S_n取最小值

5

16

，
當n≥2時，n²＞2，c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

＜

1

2n+1

∴S_n＜

1 4

1- 1 2

=

1

2

故

5

16

≤Sn＜

1

2

．

點評：本題考查的知識點是數列的通項公式，數列求和，是數列與不等式的綜合應用，綜合性強，運算難度大，屬于難題．