Question

數列{a_n}是遞減的等差數列，{a_n}的前n項和是S_n，且S₆=S₉，有以下四個結論：
①a₈=0； 
②當n等于7或8時，S_n取最大值； 
③存在正整數k，使S_k=0；
④存在正整數m，使S_m=S_2m；
其中所有正確結論的序號是（　　）

A．①②

B．①②③

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

分析：由S₆=S₉，得到a₇+a₈+a₉=0，利用等差數列的性質化簡，得到a₈=0，進而得到選項①正確；再由數列{a_n}是遞減的等差數列以及a₈=0，可得出當n等于7或8時，s_n取最大值，選項②正確；利用等差數列的前n項和公式表示出S₁₅，利用等差數列的性質化簡后，將a₈的值代入可得出S₁₅=0，故存在正整數k，使S_k=0，選項③正確；當m=5時，表示出S₁₀-S₅，利用等差數列的性質化簡后，將a₈=0代入可得出S₁₀-S₅=0，即S₁₀=S₅ ，故存在正整數m，使S_m=S_2m，選項④正確．

解答：解：∵S₆=S₉，
∴a₇+a₈+a₉=0，
由等差數列性質得：3a₈=0，可得：a₈=0，選項①正確；
∵數列{a_n}是遞減的等差數列，由已知a₁＞a₂＞…a₇＞a₈=0＞a₉…，
∴當n等于7或8時，s_n取最大值，選項②正確；
∵a₈=0，則S₁₅=

1

2

（a₁+a₁₅）×15=15a₈=0，
∴存在正整數k=15，使s_k=0，選項③正確；
由等差數列性質，S₁₀-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=5a₈=0，即S₁₀=S₅ ，
∴存在正整數m=5，使s_m=s_2m，選項④正確，
則其中所有正確結論的序號是①②③④．
故選D

點評：本題考查了等差數列性質，以及等差數列的前n項和公式，利用了等量代換、以及整體代入的思想．利用a₈=0這一特殊項盤活了整個等量代換過程，故根據題意得出a₈=0是解本題的關鍵．