Question

（2013•鹽城一模）若數列{a_n}是首項為6-12t，公差為6的等差數列；數列{b_n}的前n項和為S_n=3ⁿ-t．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}是等比數列，試證明：對于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整數C_n，使得b_n+1=a cn，并求數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）設數列{d_n}滿足d_n=a_n•b_n，且{d_n}中不存在這樣的項d_t，使得“d_k＜d_k-1與d_k＜d_k+1”同時成立（其中k≥2，k∈N^*），試求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的通項公式，可得a_n=6n-12t；再由數列前n項和與第n項的關系，即可算出{b_n}的通項公式；
（2）由{b_n}是等比數列，結合（1）的通項公式可得b_n=2•3^n-1，算出出t=1從而得到a_n=6n-12t．通過變形整理，得到b_n+1=6（3^n-1+2）-12，從而得到存在c_n=3^n-1+2∈N^*，使 acn=b_n+1成立，由等比數列求和公式即可算出{c_n}的前n項和T_n；
（3）根據（1）的結論，得dn=

6(3-t)(1-2t)，    n=1 4(n-2t)•3n，      n≥2

，由此進行作差，得d_n+1-d_n=8[n-（2t-

3

2

）]•3ⁿ（n≥2）．因此，分t＜

7

4

、2≤2t-

3

2

＜3和m≤2t-

3

2

＜m+1（m∈N且m≥3）三種情況加以討論，分別根據數列{d_n}的單調性解關于t的不等式，最后綜合即可得到實數t的取值范圍．

解答：解：（1）∵{a_n}是首項為6-12t，公差為6的等差數列，
∴a_n=（6-12t）+（n-1）×6=6n-12t…（2分）
而數列{b_n}的前n項和為S_n=3ⁿ-t，所以
當n≥2時，b_n=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，
又∵b₁=S₁=3-t，
∴bn=

3-t      n=1 2•3n-1      n≥2

 …（4分）
（2）∵數列{b_n}是等比數列，∴b₁=3-t=2•3^1-1=2，解之得t=1，
因此，b_n=2•3^n-1，且a_n=6n-12 …（5分）
對任意的n（n∈N，n≥1），由于b_n+1=2•3ⁿ=6•3^n-1=6（3^n-1+2）-12，
令c_n=3^n-1+2∈N^*，則 acn=6（3^n-1+2）-12=b_n+1，所以命題成立 …（7分）
數列數列{c_n}的前n項和為：T_n=2n+

1-3n

1-3

=

1

2

•3ⁿ+2n-

1

2

 …（9分）
（3）根據（1）的結論，得dn=

6(3-t)(1-2t)，    n=1 4(n-2t)•3n，      n≥2

，
由于當n≥2時，d_n+1-d_n=4（n+1-2t）•3ⁿ⁺¹-4（n-2t）•3ⁿ=8[n-（2t-

3

2

）]•3ⁿ，
因此，可得
①若2t-

3

2

＜2，即t＜

7

4

時，則d_n+1-d_n＞0，可得d_n+1＞d_n，
∴當n≥2時，{d_n}是遞增數列，結合題意得d₁＜d₂，
即6（3-t）（1-2t）≤36（2-2t），解之得

-5- 97

4

≤t≤

-5+ 97

4

，…（13分）
②若2≤2t-

3

2

＜3，即

7

4

≤t＜

9

4

，則當n≥3時，{d_n}是遞增數列，
∴結合題意得d₂=d₃，4（2t-2）×3²=4（2t-3）×3³，解之得t=

7

4

（14分）
③若m≤2t-

3

2

＜m+1（m∈N且m≥3），即

m

2

+

3

4

≤t≤

m

2

+

5

4

（m∈N且m≥3），
則當2≤n≤m時，{d_n}是遞減數列，當n≥m+1時，{d_n}是遞增數列，
結合題意，得d_m=d_m+1，即4（2t-m）×3^m=4（2t-m-1）×3^m+1，解之得t=

2m+3

4

…（15分）
綜上所述，t的取值范圍是

-5- 97

4

≤t≤

-5+ 97

4

或t=

2m+3

4

（m∈N且m≥2）…（16分）

點評：本題給出成等差數列和成等比數列的兩個數列，求它們的通項公式并找出由它們的公共項構成的新數列規律，并依此求新數列的前n項和．著重考查了等差數列、等比數列的通項公式，等差數列、等比數列的前n項和公式，考查了分類討論的數學思想和數列中的猜想、類比與遞推的思想，對數學的綜合能力要求較高，屬于難題．