Question

【題目】（12分）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

Answer 1

【答案】

（1）見解析

（2）二面角的余弦值為.

【解析】

（1）由題設(shè)可得，

又是直角三角形，所以

取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO

又由于

所以

（2）

由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得E.故

設(shè)是平面DAE的法向量，則

可取

設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可得

則

所以二面角D-AE-C的余弦值為