Question

已知函數(shù)在點處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）對函數(shù)定義域內(nèi)的任一個實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義，函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在點處切線的斜率，把點代入切線方程中，得，把點代入中，得關(guān)于的一個方程，又，得關(guān)于的另一個方程，聯(lián)立解；（2）恒成立問題的解決辦法，一種方法是參變分離，由（1）得，∴，左邊函數(shù)的最大值；第二種方法是構(gòu)造函數(shù)，但是考慮到求導時候的困難，可先變形， ，，記，最大值小于0，即可.
試題解析：（1）由
而點在直線上，又直線的斜率為
故有
（2）方法一：由（1）得由及
令
令，故在區(qū)間上是減函數(shù)，故當時，，當時，，從而當時，，當時，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故要使成立，只需，故的取值范圍是.
方法二：由，則，∴，記，，①當時，不滿足恒小于0；②當時，令，當時，遞增，遞減，，；當時， 所以不滿足，綜上所述：的取值范圍是.