Question

（本小題滿分14分）

        已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切．

   （1）求橢圓C₁的方程；

   （2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

   （3）設C_??2與x軸交于點Q，不同的兩點R、S在C₂上，且 滿足，

        求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范圍是．

解析:

（1）由                             （2分）

    由直線

所以橢圓的方程是                                   （4分）

（2）由條件，知|MF₂|=|MP|．即動點M到定點F₂的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是．          （8分）

（3）由（2），知．設

所以當

故的取值范圍是．                                （14分）