Question

【題目】已知橢圓C的兩個頂點分別為A（﹣2，0），B（2，0），焦點在x軸上，離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E．求證：△BDE與△BDN的面積之比為4：5．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的焦點在x軸上，設橢圓方程： （a＞b＞0），
則a=2，e= = ，則c= ，
b2=a2﹣c2=1，
∴橢圓C的方程 ；
（Ⅱ）證明：設D（x0 ， 0），（﹣2＜x0＜2），M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0），y0＞0，
由M，N在橢圓上，則 ，則x02=4﹣4y02 ，
則直線AM的斜率kAM= = ，直線DE的斜率kDE=﹣ ，
直線DE的方程：y=﹣ （x﹣x0），
直線BN的斜率kBN= ，直線BN的方程y= （x﹣2），
，解得： ，
過E做EH⊥x軸，△BHE∽△BDN，
則丨EH丨= ，
則 = ，
∴：△BDE與△BDN的面積之比為4：5．

【解析】（Ⅰ）由題意設橢圓方程，由a=2，根據橢圓的離心率公式，即可求得c，則b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）由題意分別求得DE和BN的斜率及方程，聯立即可求得E點坐標，根據三角形的相似關系，即可求得 = ，因此可得△BDE與△BDN的面積之比為4：5．
【考點精析】利用點斜式方程和橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為則：；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．