Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，對角線MN過C點，已知|AB|=3米，|AD|=2米，且受地理條件限制，|AN|長不超過8米，設AN=x．
（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？
（2）若|AN|∈[3，4）（單位：米），則當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）求出矩形的長與寬，求得矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于32平方米，即可求得AN的取值范圍；
（2）求導數，確定函數y=

3x2

x-2

在[3，4）上為單調遞減函數，即可求得面積的最大值．

解答：解：（1）設AN的長為x米（2＜x≤8）
∵

DN

AN

=

DC

AM

，∴AM=

3x

x-2

∴S_AMPN=AN•AM=

3x2

x-2

由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32
∵x＞2，∴3x²-32x+64＞0
∴2＜x＜

8

3

或x＞8
∵2＜x≤8
∴2＜x＜

8

3

，即AN的長的取值范圍為（2，

8

3

）；
（2）令y=

3x2

x-2

，則y′=

3x(x-4)

(x-2)2

∵x∈[3，4），∴y′＜0，∴函數y=

3x2

x-2

在[3，4）上為單調遞減函數
∴當x=3時，y=

3x2

x-2

取得最大值，即矩形花壇AMPN的面積最大為27m²，此時AN=3m，AM=9m．

點評：本題考查根據題設關系列出函數關系式，考查利用導數求最值，解題的關鍵是確定矩形的面積．