Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且的最小值不小于。

（1）證明：橢圓上的點到F₂的最短距離為；

（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；

（3）設橢圓的短半軸長為1，圓F₂與軸的右交點為Q，過點Q作斜率為的直線與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線被圓F₂截得的弦長S的最大值。

Answer 1

解：（1）假設橢圓上的任一點P（x_0,,y₀）

則︱PF₂︱²=（x₀-c）²+y₀²由橢圓方程

易得︱PF₂︱²=x₀²-2cx₀+c²+b²,顯然當 x₀=a時,

︱PF₂︱最小值為a-c.。。。。。。。。。。。。4分

（2）依題意知

當且僅當取得最小值時，取最小值

∴,又因為b-c>0,

得。。。。8分

（3）依題意Q點的坐標為，則直線的方程為，代入橢圓方程得

設，則，，。。。。。。。。。。。10分

又OA⊥OB，∴，

∴，即，直線的方程為

圓心到直線的距離

由圖象可知

 。。。。。。。。。。。。12分

 由得∴。。。。。。。。。。14分