Question

21、對于每項均是正整數的數列A：a₁，a₂，…，a_n，定義變換T₁，T₁將數列A變換成數列T₁（A）：n，a₁-1，a₂-1，…，a_n-1．
對于每項均是非負整數的數列B：b₁，b₂，…，b_m，定義變換T₂，T₂將數列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列T₂（B）；
又定義S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b₁²+b₂²+…+b_m²．設A₀是每項均為正整數的有窮數列，令A_k+1=T₂（T₁（A_k））（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果數列A₀為5，3，2，寫出數列A₁，A₂；
（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列A，證明S（T₁（A））=S（A）；
（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列A₀，存在正整數K，當k≥K時，S（A_k+1）=S（A_k）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A₀：5，3，2，求得T₁（A₀）再通過A_k+1=T₂（T₁（A_k））求解．
（Ⅱ）設有窮數列A求得T₁（A）再求得S（T₁（A）），由S（A）=2（a₁+2a₂++na_n）+a₁²+a₂²++a_n²，兩者作差比較．
（Ⅲ）設A是每項均為非負整數的數列a₁，a₂，，a_n．在存在1≤i＜j≤n，有a_i≤a_j時條件下，交換數列A的第i項與第j項得到數列B，在存在1≤m＜n，使得a_m+1=a_m+2═a_n=0時條件下，若記數列a₁，a₂，…，a_m為C，A_k+1=T₂（T₁（A_k））s（A_k+1）≤S（T₁（A_k））．由S（T₁（A_k））=S（A_k），得到S（A_k+1）≤S（A_k）．S（A_k）是大于2的整數，所以經過有限步后，必有S（A_k）=S（A_k+1）=S（A_k+2）=0．

解答：解：（Ⅰ）解：A₀：5，3，2，T₁（A₀）：3，4，2，1，A₁=T₂（T₁（A₀））：4，3，2，1；T₁（A₁）：4，3，2，1，0，A₂=T₂（T₁（A₁））：4，3，2，1．
（Ⅱ）證明：設每項均是正整數的有窮數列A為a₁，a₂，，a_n，
則T₁（A）為n，a₁-1，a₂-1，，a_n-1，
從而S（T₁（A））=2[n+2（a₁-1）+3（a₂-1）++（n+1）（a_n-1）]+n²+（a₁-1）²+（a₂-1）²++（a_n-1）²．
又S（A）=2（a₁+2a₂++na_n）+a₁²+a₂²++a_n²，
所以S（T₁（A））-S（A）=2[n-2-3--（n+1）]+2（a₁+a₂++a_n）+n²-2（a₁+a₂++a_n）+n=-n（n+1）+n²+n=0，
故S（T₁（A））=S（A）．
（Ⅲ）證明：設A是每項均為非負整數的數列a₁，a₂，，a_n．
當存在1≤i＜j≤n，使得a_i≤a_j時，交換數列A的第i項與第j項得到數列B，
則S（B）-S（A）=2（ia_j+ja_i-ia_i-ja_j）=2（i-j）（a_j-a_i）≤0．
當存在1≤m＜n，使得a_m+1=a_m+2═a_n=0時，若記數列a₁，a₂，，a_m為C，
則S（C）=S（A）．
所以S（T₂（A））≤S（A）．
從而對于任意給定的數列A₀，由A_k+1=T₂（T₁（A_k））（k=0，1，2，）
可知S（A_k+1）≤S（T₁（A_k））．
又由（Ⅱ）可知S（T₁（A_k））=S（A_k），所以S（A_k+1）≤S（A_k）．
即對于k∈N，要么有S（A_k+1）=S（A_k），要么有S（A_k+1）≤S（A_k）-1．
因為S（A_k）是大于2的整數，所以經過有限步后，必有S（A_k）=S（A_k+1）=S（A_k+2）=0．
即存在正整數K，當k≥K時，S（A_k+1）=S（A）

點評：本題是一道由一個數列為基礎，按著某種規律新生出另一個數列的題目，要注意新數列的前幾項一定不能出錯，一出旦錯，則整體出錯．