Question

已知關于x的函數f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6．
（Ⅰ）當函數圖象經過點（0，1）時，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試證明函數有兩個不相等的零點，且分別在區間（0，1）和（6，7）內．

Answer 1

解：（Ⅰ）當函數圖象經過點（0，1）時，必有f（0）=2m+6=1，
解得m=，故f（x）的解析式為f（x）=x²-7x+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x²-7x+1，
∵△=（-7）²-4=45＞0，∴方程x²-7x+1=0有兩個不相等的實根，
∴函數f（x）=x²-7x+1有兩個不相等的零點，
又因為f（0）=1，f（1）=-5，f（6）=-5，f（7）=1
所以f（0）•f（1）＜0，f（，6）•f（7）＜0，
由零點的存在性定理可得：函數的零點分別在區間（0，1）和（6，7）內．
分析：（Ⅰ）由f（0）=1，可建立關于m的方程，解之即可得f（x）的解析式；（Ⅱ）由△＞0，可得函數有兩個不相等的零點，再由零點的判斷定理可得他們分別在區間（0，1）和（6，7）內．
點評：本題考查函數零點的判斷定理，涉及函數解析式的求解，屬基礎題．