Question

某地區對12歲兒童瞬時記憶能力進行調查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調查結果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．

聽覺 視覺		視覺記憶能力
		偏低	中等	偏高	超常
聽覺 記憶 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3	b
	偏高	2	a	0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分數據丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為

2

5

．
（1）試確定a、b的值；
（2）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率；
（3）從40人中任意抽取3人，設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為ξ，求隨機變量ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由表格數據可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有（10+a）人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A，事件A的概率即為

2

5

，由此建立方程即可求出a，b．
（2）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率，方法一：可分為三類求其概率，分別為有一，二、三位能力超常的人；求出三類中所胡可能的情況；方法二：轉化為求其對立事件的概率，易求．
（3）從40人中任意抽取3人，設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為ξ，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率列出分布列，利用公式求出期望即可．

解答：解：（1）由表格數據可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有（10+a）人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A，
則P(A)=

10+a

40

=

2

5

，解得a=6．
所以b=40-（32+a）=40-38=2．
答：a的值為6，b的值為2．
（2）由表格數據可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生共有8人．
方法1：記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件B，
則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件

.

B

，
所以P(B)=1-P(

.

B

)=1-

C 3 32

C 3 40

=1-

124

247

=

123

247

．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率為

123

247

．
方法2：記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件B，
所以P(B)=

C 1 8 C 2 32 + C 2 8 C 1 32 + C 3 8

C 3 40

=

123

247

．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率為

123

247

．
（3）由于從40位學生中任意抽取3位的結果數為C₄₀³，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生共24人，從40位學生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結果數為C₂₄^kC₁₆^3-k，
所以從40位學生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為P(ξ=k)=

C k 24 C 3-k 16

C 3 40

，（k=0，1，2，3）（8分）ξ的可能取值為0，1，2，3，
因為P(ξ=0)=

C 0 24 C 3 16

C 3 40

=

14

247

，P(ξ=1)=

C 1 24 C 2 16

C 3 40

=

72

247

，P(ξ=2)=

C 2 24 C 1 16

C 3 40

=

552

1235

，P(ξ=3)=

C 3 24 C 0 16

C 3 40

=

253

1235

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	14 247	72 247	552 1235	253 1235

所以Eξ=0×

14

247

+1×

72

247

+2×

552

1235

+3×

253

1235

=

2223

1235

=

9

5

．
答：隨機變量ξ的數學期望為

9

5

點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，求解問題的關鍵是正確理解題意以及熟練掌握求概率的方法，本題二中提供了兩種方法求概率，對比發現求對立事件的概率較易．求概率時靈活選擇求概率的角度可以簡化運算，本題運算量較大，易馬虎導致錯誤，以至于解題失敗，做題時要嚴謹、認真，算好每一步．避免一步錯步步錯．